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In der Mathematik ist eine Abbildung zwischen zwei Mengen, die nicht verschieden sein müssen und die Strukturen der gleichen Art besitzen, dann mit deren Strukturen verträglich, ein Homomorphismus oder ein (konkreter) Morphismus dieser Strukturart, wenn sie die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge abbildet, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Relationen sowie Abbildungen der Struktur ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Ausgangsstruktur verhalten.

Ein wichtiger Sonderfall hierfür sind die Distributivgesetze als Charakterisierung von zweistelligen Verknüpfungen, die linksverträglich bzw. rechtsverträglich mit anderen Verknüpfungen sind.

Definition |

Gegeben seien zwei nichtleere Mengen A{displaystyle A} und B{displaystyle B} sowie beliebige nichtleere Indexmengen I,J,K{displaystyle I,J,K} und Ji{displaystyle J_{i}} für jedes i∈I,{displaystyle iin I,} die im Folgenden immer auch unendlich sein können.

Weiterhin seien R⊆AJ{displaystyle Rsubseteq A^{J}} und S⊆BJ{displaystyle Ssubseteq B^{J}} zwei Relationen^[1] mit gleichen Eigenschaften sowie (Fi)i∈I{displaystyle (F_{i})_{iin I}} und (Gi)i∈I{displaystyle (G_{i})_{iin I}} zwei Familien von Relationen Fi⊆AJi{displaystyle F_{i}subseteq A^{J_{i}}} und Gi⊆BJi,{displaystyle G_{i}subseteq B^{J_{i}},} die für jeden Index i∈I{displaystyle iin I} jeweils gleiche Eigenschaften haben, sodass (A,(Fi)i∈I){displaystyle (A,(F_{i})_{iin I})} und (B,(Gi)i∈I){displaystyle (B,(G_{i})_{iin I})} zwei Strukturen der gleichen Art sind.

Eine Relation ϱ∈A×B{displaystyle varrho in Atimes B} heißt dann verträglich mit den Relationen R{displaystyle R} und S,{displaystyle S,} wenn für alle (aj,bj)∈ϱ,j∈J,{displaystyle (a_{j},b_{j})in varrho ,;jin J,} gilt:

(aj)j∈J∈R⟹(bj)j∈J∈S.{displaystyle (a_{j})_{jin J}in Rimplies (b_{j})_{jin J}in S.}

Demnach ist insbesondere eine Abbildung φ:A→B,a↦φ(a),{displaystyle varphi colon ,Ato B,,amapsto varphi (a),} verträglich mit den Relationen R{displaystyle R} und S,{displaystyle S,} wenn gilt:

α∈R⟹φ∘α∈S.{displaystyle alpha in Rimplies varphi circ alpha in S.}

φ{displaystyle varphi } ist verträglich mit den Strukturen (A,(Fi)i∈I){displaystyle (A,(F_{i})_{iin I})} und (B,(Gi)i∈I),{displaystyle (B,(G_{i})_{iin I}),}^[2] wenn für jeden Index i∈I{displaystyle iin I} die Abbildung φ{displaystyle varphi } verträglich ist mit Fi{displaystyle F_{i}} und Gi.{displaystyle G_{i}.} Man nennt dann φ{displaystyle varphi } auch einen Homomorphismus oder kurz Morphismus dieser Strukturart.

Nun sei χ:AK→A{displaystyle chi colon ,A^{K}to A} eine innere Verknüpfung auf A{displaystyle A} (K{displaystyle K} darf auch unendlich sein) und R⊆AJ,{displaystyle Rsubseteq A^{J},} sodass auf AK{displaystyle A^{K}} komponentenweise die Relation S:={α|α^(k)∈R für alle k∈K}⊆(AK)J{displaystyle S:={bigl {}alpha {bigr |},{hat {alpha }}(k)in R,{text{ für alle }},kin K,{bigl }}subseteq {bigl (}A^{K}{bigr )}{bigr .}^{J}} auf A{displaystyle A} gegeben ist. χ{displaystyle chi } heißt dann verträglich mit R,{displaystyle R,} wenn χ{displaystyle chi } verträglich ist mit S{displaystyle S} und R.{displaystyle R.}

Hierbei (und auch im Folgenden, für beliebige A,K,J,α{displaystyle A,K,J,alpha }) sei für α∈(AK)J{displaystyle alpha in {bigl (}A^{K}{bigr )}^{J}} das α^∈(AJ)K{displaystyle {hat {alpha }}in {bigl (}A^{J}{bigr )}^{K}} definiert per α^(k)(j):=α(j)(k){displaystyle {hat {alpha }}(k)(j):=alpha (j)(k)}.

Eigenschaften |

• Sind zwei Relationen mit gleichen Eigenschaften RA⊆AI×A{displaystyle R_{A}subseteq A^{I}!times A} und RB⊆BI×B{displaystyle R_{B}subseteq B^{I}!times B} Abbildungen (d. h. linkstotal und rechtseindeutig) fA:AI→A,{displaystyle f_{A}colon ,A^{I}to A,} und fB:BI→B,{displaystyle f_{B}colon ,B^{I}to B,} so ist eine Abbildung φ:A→B{displaystyle varphi colon ,Ato B} genau dann verträglich mit den Abbildungen fA{displaystyle f_{A}} und fB,{displaystyle f_{B},} wenn
  

φ(fA(α))=fB(φ∘α){displaystyle varphi left(f_{A}(alpha )right)=f_{B}left(varphi circ alpha right)}   für alle α∈AI.{displaystyle alpha in A^{I}.}

• Zwei nullstellige Abbildungen fA:A0→A,()↦fA(),{displaystyle f_{A}colon ,A^{0}to A,,()mapsto f_{A}(),} und fB:B0→B,()↦fB(),{displaystyle f_{B}colon ,B^{0}to B,,()mapsto f_{B}(),} können stets als die einelementigen einstelligen Relationen RA={fA()}⊆A{displaystyle R_{A}={f_{A}()}subseteq A} und RB={fB()}⊆B{displaystyle R_{B}={f_{B}()}subseteq B} aufgefasst werden. Eine Abbildung φ:A→B{displaystyle varphi colon ,Ato B} ist daher genau dann verträglich mit den Abbildungen fA{displaystyle f_{A}} und fB,{displaystyle f_{B},} wenn φ{displaystyle varphi } die Konstanten fA(){displaystyle f_{A}()} und fB(){displaystyle f_{B}()} aufeinander abbildet:

φ(fA())=fB().{displaystyle varphi (f_{A}())=f_{B}().}

• 
  χ:AK→A{displaystyle chi colon ,A^{K}to A} ist genau dann verträglich mit einer Abbildung fA:AI→A,{displaystyle f_{A}colon ,A^{I}to A,} wenn gilt:

χ(fA∘α^)=fA(χ∘α){displaystyle chi left(f_{A}circ {hat {alpha }}right)=f_{A}left(chi circ alpha right)}   für alle α∈(AK)I.{displaystyle alpha in {bigl (}A^{K}{bigr )}^{I}.}

Distributivität |

Sei nun zusätzlich eine nichtleere Menge C{displaystyle C} gegeben. Man nennt dann eine zweistellige Verknüpfung ⋆:C×A→B,(c,a)↦c⋆a,{displaystyle star colon ,Ctimes Ato B,,(c,a)mapsto cstar a,} linksverträglich mit RA{displaystyle R_{A}} und RB,{displaystyle R_{B},} wenn für jedes c∈C{displaystyle cin C} die Linkstransformation

τc⋆:A→B,a↦τc⋆(a):=c⋆a,{displaystyle tau _{cstar }colon ,Ato B,,amapsto tau _{cstar }(a):=cstar a,}

nach obiger Definition mit RA{displaystyle R_{A}} und RB{displaystyle R_{B}} verträglich ist. Ebenso nennt man eine zweistellige Verknüpfung ∗:A×C→B,(a,c)↦a∗c,{displaystyle *colon ,Atimes Cto B,,(a,c)mapsto a*c,} rechtsverträglich mit RA{displaystyle R_{A}} und RB,{displaystyle R_{B},} wenn für jedes c∈C{displaystyle cin C} die Rechtstransformation

τ∗c:A→B,a↦τ∗c(a):=a∗c,{displaystyle tau _{*c}colon ,Ato B,,amapsto tau _{*c}(a):=a*c,}

mit RA{displaystyle R_{A}} und RB{displaystyle R_{B}} verträglich ist.

Falls ⋆{displaystyle star } linksverträglich ist sowie ∗{displaystyle *} rechtsverträglich ist mit Abbildungen fA:AI→A{displaystyle f_{A}colon ,A^{I}to A} und fB:BI→B,{displaystyle f_{B}colon ,B^{I}to B,} dann sagt man auch, dass ⋆{displaystyle star } linksdistributiv ist bzw. ∗{displaystyle *} rechtsdistributiv ist über fA{displaystyle f_{A}} und fB:{displaystyle f_{B}colon }

c⋆fA(ai)i∈I=fB(c⋆ai)i∈I{displaystyle cstar f_{A}(a_{i})_{iin I}=f_{B}(cstar a_{i})_{iin I}}   bzw.   fA(ai)i∈I∗c=fB(ai∗c)i∈I{displaystyle f_{A}(a_{i})_{iin I}*c=f_{B}(a_{i}*c)_{iin I}}   für alle c∈C{displaystyle cin C} und für alle (ai)i∈I∈AI.{displaystyle (a_{i})_{iin I}in A^{I}.}

Eine innere zweistellige Verknüpfung ⋅:A×A→A{displaystyle cdot colon ,Atimes Ato A} auf A{displaystyle A} heißt distributiv über fA,{displaystyle f_{A},} wenn ⋅{displaystyle cdot } links- und rechtsdistributiv über fA{displaystyle f_{A}} ist.

Beispiele |

• Die mit geordneten Strukturen (A,≤){displaystyle (A,leq )} und (B,⊑){displaystyle (B,sqsubseteq )} verträglichen Abbildungen φ:A→B{displaystyle varphi colon ,Ato B} heißen isoton oder auch monoton (steigend):

a1≤a2⟹φ(a1)⊑φ(a2){displaystyle a_{1}leq a_{2}implies varphi (a_{1})sqsubseteq varphi (a_{2})}   für alle a1,a2∈A.{displaystyle a_{1},a_{2}in A.}

• Eine Kongruenzrelation ist eine auf einer algebraischen Struktur (A,(fi)){displaystyle left(A,(f_{i})right)} derart erklärte Äquivalenzrelation ∼⊆A2,{displaystyle {sim }subseteq A^{2},} dass alle inneren Verknüpfungen fi{displaystyle f_{i}} verträglich sind mit ∼.{displaystyle {sim }.}
  

• Die mit algebraischen Strukturen verträglichen Abbildungen sind (algebraische) Homomorphismen.

• 
  Vollständige Verbandshomomorphismen von unendlichen vollständigen Verbänden sind Beispiele für unendlichstellige Homomorphismen.

• Die Topologie O{displaystyle {mathcal {O}}} eines topologischen Raums (X,O){displaystyle (X,{mathcal {O}})} ist eindeutig durch das Hüllensystem A{displaystyle {mathcal {A}}} aller abgeschlossenen Mengen des Raumes gegeben und ebenso ist A{displaystyle {mathcal {A}}} durch das Kernsystem O{displaystyle {mathcal {O}}} eindeutig bestimmt, denn jede offene Menge O∈O{displaystyle Oin {mathcal {O}}} ist das (absolute) Komplement einer abgeschlossenen Menge A∈A{displaystyle Ain {mathcal {A}}} und umgekehrt. Jede abgeschlossene Menge A∈A{displaystyle Ain {mathcal {A}}} lässt sich wiederum dadurch charakterisieren, dass jeder Punkt a∈X{displaystyle ain X} genau dann in A{displaystyle A} liegt, wenn gegen ihn ein Netz (ai)i∈I{displaystyle (a_{i})_{iin I}} konvergiert mit ai∈A{displaystyle a_{i}in A} für alle i∈I.{displaystyle iin I.} Die Topologie O{displaystyle {mathcal {O}}} und das Konvergenzverhalten aller Netze in X{displaystyle X} sind also äquivalent.

Mit der gemeinsamen topologischen Struktur zweier topologischer Räume (X,O){displaystyle (X,{mathcal {O}})} und (Y,P){displaystyle (Y,{mathcal {P}})} ist daher eine Abbildung φ:X→Y{displaystyle varphi colon ,Xto Y} genau dann verträglich oder stetig, falls sie für jeden Punkt x∈X{displaystyle xin X} mit allen gegen x{displaystyle x} konvergenten Netzen verträglich ist:

(xi)i∈I⟶Xx⟹(φ(xi))i∈I⟶Yφ(x){displaystyle (x_{i})_{iin I}longrightarrow _{X}ximplies left(varphi (x_{i})right)_{iin I}longrightarrow _{Y}varphi (x)}   für alle Netze (xi)i∈I{displaystyle (x_{i})_{iin I}} mit xi∈X{displaystyle x_{i}in X} für alle i∈I.{displaystyle iin I.}

• Mit Kategorien verträgliche Abbildungen nennt man Funktoren.

• Die Distributivität spielt bei vielen algebraischen Strukturen eine wichtige Rolle.

Literatur |

• 
  Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3rd Edition. AMS, Providence, RI 1973, ISBN 0-8218-1025-1. 
  


• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8. 
  


• 
  Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin – Heidelberg 1967. 
  


• 
  Wilhelm Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie. Springer, Berlin – Heidelberg 1984, ISBN 3-540-13427-1. 
  


• 
  Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearb. und erw. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2001, ISBN 3-540-67790-9. 
  


• F. Reinhardt, H. Soeder: dtv-Atlas Mathematik. 11. Auflage. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie. Deutscher Taschenbuchverlag, München 1998, ISBN 3-423-03007-0. 
  


• Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8. 
  

Anmerkungen |

1. 
   ↑ Die Menge AJ{displaystyle A^{J}} aller Familien in A{displaystyle A} mit Indexmenge J{displaystyle J} wird, falls J{displaystyle J} endlich ist und genau n{displaystyle n} Elemente enthält, ebenso mit An={(a0,…,an−1)∣a0,…,an−1∈A}{displaystyle A^{n}={(a_{0},ldots ,a_{n-1})mid a_{0},ldots ,a_{n-1}in A}} oder für n_:={1,…,n}{displaystyle {underline {n}}:={1,ldots ,n}} mit An_{displaystyle A^{underline {n}}} identifiziert, wobei man zwischen An{displaystyle A^{n}} und An_{displaystyle A^{underline {n}}} in der Regel nicht unterscheidet.
   


2. 
   ↑ Eine Struktur ((Ak)k∈K,(Ri)i∈I){displaystyle ((A_{k})_{kin K},(R_{i})_{iin I})} mit einem Tupel bzw. einer Familie von mehreren Trägermengen Ak{displaystyle A_{k}} und mit Relationen Ri{displaystyle R_{i}} in (auch verschiedenen) kartesischen Produkten dieser Trägermengen lässt sich als eine Struktur mit der Trägermenge A:=⋃(Ak)k∈K{displaystyle A:=bigcup (A_{k})_{kin K}} auffassen, da stets jede Relation Ri{displaystyle R_{i}} auch Teilmenge eines kartesischen Produkts von A{displaystyle A} ist.