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Grenzrate der Substitution (GRS). Die GRS ist in Punkt B höher als in Punkt A. Sie beträgt jeweils Δx₂/Δx₁ (zu Anschauungszwecken ist das eingezeichnete Δx₁ in beiden Fällen gleich).

Als Grenzrate der Substitution (Abkürzung: GRS) bezeichnet man in der Volkswirtschaftslehre bei einer Zwei-Güter-Betrachtung den Absolutbetrag der Steigung einer Indifferenzkurve. Namensgebend ist die Eigenschaft der GRS, für jeden Punkt auf der Indifferenzkurve anzugeben, in welchem Austauschverhältnis der Haushalt bereit wäre, das zweite Gut gegen das erste auszutauschen (= zu substituieren).

Beispiel |

Ein Beispiel wird an dieser Stelle anhand der nebenstehenden Grafik skizziert. Auf einer Indifferenzkurve liegen nach Definition sämtliche Güterkombinationen aus Gut 1 (x1{displaystyle x_{1}}-Einheiten) und Gut 2 (x2{displaystyle x_{2}}-Einheiten), die ein identisches Nutzenniveau u¯{displaystyle {bar {u}}} stiften.

Betrachtet man nun den Punkt B{displaystyle B} in der Graphik, so entspricht dieser einer konkreten Mengenkombination aus Einheiten von Gut 1 und Einheiten von Gut 2. Man stelle sich vor, dass einem Konsumenten von Gut 1 eine kleine Menge Δx1{displaystyle Delta x_{1}} weggenommen wird. Zur Kompensation erhält er Δx2{displaystyle Delta x_{2}}. Wie man sich anhand der Darstellung klarmachen kann, befindet sich der Konsument nach diesem Austausch bei hinreichend kleiner Wahl von Δx1{displaystyle Delta x_{1}} nach wie vor (approximativ) auf derselben Indifferenzkurve, das heißt der Tausch von Δx1{displaystyle Delta x_{1}}-Einheiten Gut 1 gegen Δx2{displaystyle Delta x_{2}}-Einheiten Gut 2 stellt ihn (approximativ) gleich. Das Austauschverhältnis beträgt Δx2∖Δx1{displaystyle Delta x_{2}backslash Delta x_{1}} und für Δx1→0{displaystyle Delta x_{1}to 0} handelt es sich hierbei gerade um die (absolute) Steigung der Indifferenzkurve.

Definition |

Die GRS von Gut 1 bezüglich Gut 2 im Punkt A (B) entspricht dem Tangens des Winkels α (β). Da tan(α)<tan(β), ist im Beispiel die GRS in A geringer als in B.

Die Definition der Grenzrate der Substitution von Gut 1 bezüglich Gut 2 lautet

GRS1,2(x1,x2)≡|f′(x1)|{displaystyle {textrm {GRS}}_{1,2}(x_{1},x_{2})equiv left|f'(x_{1})right|}

mit f(x1){displaystyle f(x_{1})} der Funktion der Indifferenzkurve.^[1] In einem bestimmten Punkt auf der Indifferenzkurve gilt nach den Gesetzen über die Zusammenhänge trigonometrischer Funktionen in einem rechtwinkligen Dreieck äquivalenterweise auch

GRS1,2(x1,x2)=tan⁡(ϕ){displaystyle {textrm {GRS}}_{1,2}(x_{1},x_{2})=tan(phi )}

mit ϕ{displaystyle phi } dem Winkel zwischen der Tangente zur Indifferenzkurve im betrachteten Punkt und der Abszisse (siehe nebenstehendes graphisches Beispiel).^[2]

Zusammenhang mit der Nutzenfunktion und Eigenschaften |

Es gilt

GRS1,2(x1,x2)≡|f′(x1)|=−f′(x1)=∂u(x1,x2)/∂x1∂u(x1,x2)/∂x2{displaystyle {textrm {GRS}}_{1,2}(x_{1},x_{2})equiv |f'(x_{1})|=-f'(x_{1})={frac {partial u(x_{1},x_{2})/partial x_{1}}{partial u(x_{1},x_{2})/partial x_{2}}}}.

Das heißt die GRS entspricht dem Verhältnis der Grenznutzen:

∂u(x1,x2)/∂x1∂u(x1,x2)/∂x2=MU1MU2{displaystyle {frac {partial u(x_{1},x_{2})/partial x_{1}}{partial u(x_{1},x_{2})/partial x_{2}}}={frac {MU_{1}}{MU_{2}}}}

Dies kann man wie folgt zeigen: Betrachte für ein festes Güterbündel (x1,x2)∈R≥02{displaystyle (x_{1},x_{2})in mathbb {R} _{geq 0}^{2}}, welches den Nutzen u¯{displaystyle {bar {u}}} stiftet, die Menge C={(x1′,x2′)∈R≥02∣(x1′,x2′)∼(x1,x2)}{displaystyle C={(x_{1}',x_{2}')in mathbb {R} _{geq 0}^{2}mid (x_{1}',x_{2}')sim (x_{1},x_{2})}} aller Güterbündel, bezüglich deren wir hinsichtlich (x1,x2){displaystyle (x_{1},x_{2})} indifferent sind. Dann lässt sich C{displaystyle C} als die Kurve u(x,y)=u¯{displaystyle u(x,y)={bar {u}}} auffassen. Diese ist streng monoton fallend in dem Sinne, dass

∀(x1,x2),(y1,y2):(x1,x2),(y1,y2)∈C∧x1>y1⟹x2<y2{displaystyle forall (x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}):(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})in Cwedge x_{1}>y_{1}implies x_{2}<y_{2}}.

Wir können die Gleichung u(x1,x2)=u¯{displaystyle u(x_{1},x_{2})={bar {u}}} also stets auflösen, d. h. wir finden ein f{displaystyle f}, so dass f(x1)=x2{displaystyle f(x_{1})=x_{2}} (siehe auch Satz von der impliziten Funktion). Somit gilt die einfachere Schreibweise

C={(x1,f(x1))∣x1∈R≥0}.{displaystyle C={(x_{1},f(x_{1}))mid x_{1}in mathbb {R} _{geq 0}}.}

Bilden wir nun die Ableitung der Funktion x1↦u(x1,f(x1))≡u¯{displaystyle x_{1}mapsto u(x_{1},f(x_{1}))equiv {bar {u}}}, so erhalten wir mittels Kettenregel (wenn man wieder die Schreibweise f(x1)=x2{displaystyle f(x_{1})=x_{2}} verwendet):

(∂u(x1,f(x1))∂x1,∂u(x1,f(x1))∂f(x1))⋅(1f′(x1))=∂u(x1,x2)∂x1+∂u(x1,x2)∂x2f′(x1)=0{displaystyle left({frac {partial u(x_{1},f(x_{1}))}{partial x_{1}}},{frac {partial u(x_{1},f(x_{1}))}{partial f(x_{1})}}right)cdot {1 choose f'(x_{1})}={frac {partial u(x_{1},x_{2})}{partial x_{1}}}+{frac {partial u(x_{1},x_{2})}{partial x_{2}}}f'(x_{1})=0}.

Man beachte, dass die Ableitung einer konstanten Funktion stets verschwindet. Nach weiterer Umformung folgt die Behauptung, da wir via GRS=−f′(x1){displaystyle {textrm {GRS}}=-f'(x_{1})} exakt auf die aufgeführte Gleichung der GRS kommen – was zu zeigen war.^[3]

Bemerkung: da f{displaystyle f} streng monoton fällt, gilt |f′(x1)|=−f′(x1){displaystyle |f'(x_{1})|=-f'(x_{1})}, was die obige Schreibweise erklärt.

Diese Grenzrate der Substitution ist invariant gegenüber positiv streng monotoner Transformation Nutzenfunktion.^[4]

Das Konzept kann auch für eine größere Zahl von Gütern verwendet werden, wobei dann entsprechend für beliebige Güter a,b{displaystyle a,b}:

GRSa,b(x)=∂u(x)/∂xa∂u(x)/∂xb{displaystyle {textrm {GRS}}_{a,b}(mathbf {x} )={frac {partial u(mathbf {x} )/partial x_{a}}{partial u(mathbf {x} )/partial x_{b}}}}

Die GRS wird üblicherweise als streng monoton fallend angenommen, was (bei einer zweimal differenzierbaren Nutzenfunktion) äquivalent zu der Aussage ist, dass Indifferenzkurven konvex sind und auch unmittelbar mit der Konvexitätsannahme der Präferenzen in der präferenztheoretischen Fundierung korrespondiert. Intuitiv bedeutet dies im Zwei-Güter-Fall, dass man für den Verzicht auf eine marginale Einheit von Gut 2 mit umso mehr Einheiten von Gut 1 kompensiert werden muss, je weniger man von Gut 2 besitzt.

Grenzrate der Faktorsubstitution |

Die Grenzrate der Faktorsubstitution (auch Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)) findet Verwendung in der mikroökonomischen Produktions- und Kostenanalyse. Grundidee ist hier, dass ein Produzent mehrere Produktionsfaktoren (vereinfachend meist zwei) bei der Herstellung seines Gutes einsetzen kann. Das Faktoreinsatzverhältnis ist jedoch in den meisten Fällen nicht eindeutig vorgegeben, so dass ein Produktionsfaktor durch einen anderen ersetzt werden kann. Die Grenzrate der Faktorsubstitution (GRTS{displaystyle GRTS}) gibt dabei an, wie viele zusätzliche Einheiten des einen Faktors (im Beispiel Arbeit, L{displaystyle L}) benötigt werden, um bei einer Einheit weniger des anderen Faktors (im Beispiel Kapital, K{displaystyle K}) den gleichen Output zu gewährleisten:

GRTSKL=−ΔLΔK{displaystyle GRTS_{KL}=-{frac {Delta L}{Delta K}}}

Dabei sei ΔL{displaystyle Delta L} die zusätzlich eingesetzte Menge Arbeit, ΔK{displaystyle Delta K} die weniger eingesetzte Menge Kapital. Da dem Zuwachs beim einen Faktor ein Rückgang beim anderen gegenübersteht, nimmt die Grenzrate der Faktorsubstitution einen negativen Wert an.

Eine Rolle spielt die Grenzrate der Faktorsubstitution unter anderem beim Vergleich unterschiedlicher Produktionsfunktionen.

Intertemporale Grenzrate der Substitution |

Bei der Analyse mehrperiodiger Probleme in der Makroökonomik wird oft ebenfalls auf eine Form der Grenzrate der Substitution zurückgegriffen, die die betragsmäßige Steigung der Indifferenzkurve einer intertemporalen Nutzenfunktion angibt; diese Indifferenzkurve setzt dabei etwa in einem Zwei-Perioden-Modell den Konsum in der ersten Periode („jung“, mit Erwerbseinkommen) zu dem in der zweiten („alt“, ohne Erwerbseinkommen) in Beziehung.

Sei etwa U(c1,c2)=u(c1)+γ⋅u(c2){displaystyle U(c_{1},c_{2})=u(c_{1})+gamma cdot u(c_{2})} die intertemporale Nutzenfunktion eines repräsentativen Agenten mit der intertemporalen Budgetbeschränkung c1+c2/(1+r)≤y1+y2/(1+r){displaystyle c_{1}+c_{2}/(1+r)leq y_{1}+y_{2}/(1+r)} (mit r{displaystyle r} dem realen (Welt)zinssatz und yt{displaystyle y_{t}}, t=1,2{displaystyle t=1,2}, dem Einkommen in Periode t{displaystyle t}); die intertemporale Nutzenfunktion ist wiederum die Summe aus den Periodennutzen u(ct){displaystyle u(c_{t})}, wobei allerdings der Nutzen in Periode 2 um einen konstanten Diskontfaktor (γ{displaystyle gamma }) modifiziert wird. Zur Vereinfachung sei unter Verweis auf die Standardannahme eines strikt positiven Grenznutzen des Einkommens angenommen, dass die intertemporale Budgetbeschränkung mit Gleichheit erfüllt ist.

Man erhält für die Budgetbeschränkung durch Umstellen

c2=(1+r)(y1+y21+r−c1){displaystyle c_{2}=(1+r)left(y_{1}+{frac {y_{2}}{1+r}}-c_{1}right)}

und damit das vereinfachte Nutzenmaximierungsproblem

maxc1U(c1,c2)=u(c1)+γ⋅u[(1+r)(y1+y21+r−c1)]{displaystyle max _{c_{1}};U(c_{1},c_{2})=u(c_{1})+gamma cdot uleft[(1+r)left(y_{1}+{frac {y_{2}}{1+r}}-c_{1}right)right]}

mit der Optimalitätsbedingung

u′(c1)+γ⋅(−1)⋅(1+r)⋅u′(c2)=0⇒11+r=γ⋅u′(c2)u′(c1){displaystyle u'(c_{1})+gamma cdot (-1)cdot (1+r)cdot u'(c_{2})=0Rightarrow {frac {1}{1+r}}=gamma cdot {frac {u'(c_{2})}{u'(c_{1})}}}.

Man bezeichnet dabei den Ausdruck γ⋅u′(c2)/u′(c1){displaystyle gamma cdot u'(c_{2})/u'(c_{1})} als intertemporale Grenzrate der Substitution. Sie bezieht sich im Gegensatz zur überstehend eingeführten GRS auf ein und dasselbe Gut (Konsum), das jedoch potenziell in zwei Perioden „konsumiert“ werden kann und in diesen grundsätzlich einen unterschiedlichen Nutzen stiftet.

Siehe auch |

• Grenzrate der Transformation


• Samuelson-Bedingung

Literatur |

• Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.


• Susanne Wied-Nebbeling und Helmut Schott: Grundlagen der Mikroökonomik. Springer, Heidelberg u. a. 2007, ISBN 978-3-540-73868-8.


• Harald Wiese: Mikroökonomik. Eine Einführung. 5. Aufl. Springer, Heidelberg u. a. 2010, ISBN 978-3-642-11599-8.

Anmerkungen |

1. 
   ↑ Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 12; Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 28 f.
   


2. 
   ↑ Vgl. Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 30.
   


3. 
   ↑ Hierzu Jehle/Reny 2011, S. 18.
   


4. 
   ↑ Vgl. Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 36.